Spunem ca a este divizibil cu b atunci cand restul impartirii lui a la b este 0 si se noteaza a (3 puncte) b. Atunci cand a nu este divizibil cu b, notam a (3 puncte taiate) b.
Spunem ca b divide a atunci cand a este divizibil cu b si se noteaza b|a. Cand b nu divide a, se noteaza b (| taiat) a.
Orice numar natural are divizori. Ei se impart in 2 categorii:
1. divizori improprii: numarul insusi si 1. ex: 10 este divizibil cu 10 si 10 este divizibil cu 1, deci, 10 si 1 sunt divizorii improprii a lui 10.
2. divizori proprii: toti divizorii, in afara de cei improprii. ex: toti divizorii lui 4 sunt 1, 2, 4, unde 1 si 4 sunt divizorii improprii ai lui 4, deci 2 este singurul divizor propriu al lui 4.
Un numar care are mai mult de 2 divizori pozitivi se numeste compus. ex: 4, 6, 10, 20. Exista o infinitate de numere compuse.
Daca un numar are doar 2 divizori pozitivi (adica 1 si el insusi), numarul se numeste prim. Exista tot o infinitate de nr prime, lucru demonstrat de Euclid (cauta pe net teorema lui Euclid demonstrata).
In mare parte, nr prime sunt impare. Avem o singura exceptie: 2 este singurul nr prim par. Acest lucru o sa iti foloseasca foarte mult in problemele cu numere prime: ele se bazeaza, foarte mult, pe paritate.
De asemenea, trebuie sa stii teorema fundamentala a aritmeticii: orice numar natural admite o descompunere unica in puteri de numere prime. Aceasta descompunere se numeste descompunere canonica. Ex: 4=2², 10=2·5, 25=5², 36=2²·3².
In divizibilitate, mai intalnim conceptul de multiplu. Spunem ca a este multiplu de b atunci cand a este de forma b·k, unde k este nr natural. Practic, a este multiplu de b daca este mai mare sau egal cu b si a este divizibil cu b. Orice nr are o infinitate de multipli.
De asemenea, probabil te intrebi cum putem determina daca un nr este divizibil cu altul. Avem, in mare parte, 2 metode:
1. Impartim primul nr la al doilea si vedem care este restul/daca catul este natural. Daca restul este 0, atunci primul nr este divizibil cu al doilea. In caz contrar, primul numar nu este divizibil cu al doilea.
2. Utilizam criterii de divizibilitate. Ce sunt ele? Practic, sunt niste conditii care daca sunt indeplinite, intalnim relatia de divizibilitate. Uite aici cateva.
criteriul de divizibilitate cu 2: nr este par (ultima cifra a nr este 0, 2, 4, 6, 8).
criteriul de divizibilitate cu 3: suma cifrelor nr este divizibila cu 3.
criteriul de divizibilitate cu 4: ultimele 2 cifre formeaza un nr divizibil cu 4.
criteriul de divizibilitate cu 5: ultima cifra a nr este 0 sau 5.
criteriul de divizibilitate cu 6: numarul este divizibil si cu 2, si cu 3, adica ultima cifra a nr este 0, 2, 4, 6 sau 8 si suma cifrelor nr este divizibila cu 3.
criteriul de divizibilitate cu 8: ultimele 3 cifre ale nr formeaza un nr divizibil cu 8.
criteriul de divizibilitate cu 9: suma cifrelor nr este divizibila cu 9.
criteriul de divizibilitate cu 10: ultima cifra a nr este 0.
Cand trebuie sa determini daca un nr a este divizbil cu un nr b, putem descompune b in factori primi si verificam, pe rand, daca a este divizibil cu factorul prim respectiv. Ex: daca un nr este divizibil cu 91, atunci inseamna ca este divizibil si cu 13, dar si cu 7, deoarece 13·7=91.
Mai exista si conceptul de cel mai mare divizor comun a doua nr (c.m.m.d.c) si de cel mai mic multiplu comun a doua nr (c.m.m.m.c).
C.m.m.d.c. a lui a si b se noteaza cu (a, b) si este cel mai mare nr care divide si pe a, si pe b.
C.m.m.m.c a lui a si b se noteaza cu [a, b] si este cel mai mic nr care este multiplu de a, dar si de b.
Trebuie sa retii ca (a, b)·[a, b]=a·b si ca [a, b]=a·b/(a, b).
Consider ca aceste informatii te vor ajuta.
