Se consideră numărul a = 1,23(45) .
a) Scrieți numărul a sub formă de fracție ordinară;
Algoritmul de transformare se bazează pe scrierea fracției ca sumă între parte fixă și partea periodică.
1,23(45) = 1,23 + 0,00(45) = 1,23 + 0,(45) / 100 =
[tex]\displaystyle =\frac{123}{100} +\frac{45}{99} \cdot \frac{1}{100} =\frac{123 \cdot 99+45}{9900} =\frac{12222^{(18} }{9900} =\frac{679}{550}[/tex]
Această fracție este ireductibilă.
Așadar, numărul a scris sub formă de fracție ordinară este:
a = 679/550
b) Aflați a 2013-a zecimală a lui a;
Fracția fiind periodică, zecimalele scrise în paranteză se repetă la infinit. Numărul a se poate scrie și:
1,23454545....
Observăm că, exceptând primele două zecimale (2 și 3):
cum 2013 este număr impar ⇒
⇒ zecimala a 2013-a este 4
c) Calculați suma primelor 2013 zecimale ale numărului a.
a 2013-a zecimală este 4 ⇒ trebuie să calculăm suma:
S = 2 + 3 + (4 + 5) + (4 + 5) + ... + (4 + 5) + 4, care are 2013 termeni
Determinăm de câte ori se repetă secvența „(4 + 5)”.
În afara acestor secvențe, mai avem 3 termeni: primii doi „2 + 3” și ultimul „+ 4”.
Ne rămân așadar 2013 - 3 = 2010 termeni
Din aceștia, jumătate sunt „+ 4”, jumătate sunt „+ 5”.
2010 : 2 = 1005
Calculăm suma:
S = 2 + 3 + (1005 · 4 + 1005 · 5) + 4 = 9 + 1005 · 9 = 9 + 9045 = 9054
suma primelor 2013 zecimale = 9054