5. În trapezul isoscel ABCD, AB || CD, AB > CD, AD = BC, AC 1 BC, DC = 8 cm şi măsura unghiului ADC egală cu 120°. a) Demonstrați că diagonala AC este bisectoarea unghiului BAD. b) Calculați perimetrul trapezului ABCD.

Question

a fost răspuns

Răspuns :

Adresaana Adresaana · Answer 1 · 2023-01-03T23:06:28+02:00

a)

ABCD trapez isoscel ⇒ ∡ADC ≡ ∡BCD

⇒ ∡BCD = 120°

AC ⊥ BC ⇔ ∡ACB = 90°

⇒ ∡DCA = ∡BCD - ∡ACB

∡DCA = 120° - 90° = 30°

DC║AB, AC secantă ⇒ ∡DCA ≡ ∡CAB (alt. int.)

⇒ ∡CAB = 30° ①

DC║AB, AD secantă ⇒ ∡ADC + ∡DAB = 180° (interne de aceeași parte a secantei)

⇒ ∡DAB = 180° - 120° = 60° ②

①,② ⇒ ∡CAB = ∡DAB / 2

⇔ AC bisectoarea ∡DAB

b)

AC bisectoarea ∡DAB ⇒ ∡DAC = ∡CAB = 30°

am arătat mai sus că ∡DCA = 30°

⇒ ΔADC isoscel cu baza AC

⇒ AD = DC = 8 cm

ABCD trapez isoscel ⇒ BC = AD = 8 cm

în ΔACB dreptunghic în C avem ∡CAB = 30°

⇒ CB = AB / 2

⇒ AB = 2CB = 2 · 8 = 16 cm

P trapezului = DC + AD + BC + AB

P = 8 + 8 + 8 + 16 = 5 · 8 = 40 cm