1)Demonstrati ca numarul (n+3)(n+6) este divizibil cu 2, pentru orice n apartine de N.
2)Fie n apartine de N, astfel incat 13n+8 da restul 13 la impartirea cu 80, iar 8n+5 da restul 5 la impartirea cu 50. Determinati ultimele doua cifre ale lui n.

1. n+3-numar impar sau par ,n∈N;
n+6-numar impar sau par ,n∈N;
⇒numar impar·numar par=numar par;
⇒numar par·numar impar=numar impar;
⇒[n+3]·[n+6]⇒numar par;
⇒este divizibil cu 2; pentru orice n∈N;
2. 13n+8=80c+13;
⇒8n+5=50c+5;
⇒5n+3=30c+8;
⇒n-numar natural de minim trei cifre;
⇒5·121+3=605+3=608;
⇒30c+8=608⇒30c=600⇒c=20;
⇒121-numar de trei cifre;
⇒n=121;⇒ultimele doua cifre ale luin sunt 2 si 1;

Answer Link

Getatotan Getatotan · Answer 2 · 2015-08-06T21:43:33+03:00

proprietate : pentru orice n ∈ N ( par sau impar )
⇒ avem produs de 2 numere consecutive se divide cu 2
( n + 3 ) · [ ( n +1 ) + 5 ] = n · ( n +1) + 3·( n+ 1 ) + 5·n + 3 · 5 =
= n · ( n +1) + 5· n + 3·n + 3 + 15 =
= n · ( n +1 ) + 8· n + 18 este divizibil cu 2 , n ∈ N
↓   ↓ ↓ numere pare

2 .     n ∈ N
13 n + 8 = 80 · c₁ + 13 c₁ , c₂ = caturi
8n + 5 = 50 · c ₂ + 5 ⇒ 8n = 50 · c ₂
8 si 50 sunt numere prime
⇒ c₂ = 8 si n =50 ⇒ cel mai mic numar
n =50