Va propun urmatoarul rationament, voi cautati daca are vreo greseala.
Vrem sa calculam urmatoarea suma:
[tex]\sum\limits^\infty_{k=1}k;\ k \in N[/tex]
Adica:
[tex]S=1+2+3+......[/tex]
Este suma tuturor numerelor naturale. Am fi tentati sa zicem ca aceasta suma tinde la infinit.
Dar ca sa fim siguri, vom face urmatoarele artificii.
Vom lua in considerare urmatoarele 3 sume:
[tex]S=1+2+3+............. \\ S_1=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1.......... \\ S_2=1-2+3-4+5-6+7-8+9-10...............[/tex]

Pentru a calcula prima suma, vom calcula 1-S₁ si obtinem:

[tex]1-S_1=1-(1+1-1+1-1+1-1+1-1................... \\ Desfacem\ paranteza\ si\ avem: \\ 1-S_1=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1..................=S_1 \\ Deci\ 1-S_1=S_1 \\ S_1= \frac{1}{2} [/tex]
Rezultatul pare sa fie usor de acceptat, daca adunam si scadem 1, ar parea ca ajungem undeva pe la jumatate.

Pentru a calcula a doua suma, S₂, vom face urmatorul artificiu: Vom calcula 2S₂ numai ca le vom scrie unele sub altele, iar pe a doua o "decalam cu un termen la dreapta" (avem voie, sunt o infinitate de termeni) adica:

[tex]2S_2=1-2+3-4+5-6+7-8+9-10............. \\ +\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10........... \\ =1-1+1-1+1-1+1-1..............=S_1= \frac{1}{2} [/tex]
Deci
[tex]2S_2= \frac{1}{2} \\ S_2= \frac{1}{4} [/tex]

Acum vom calcula suma initiala astfel: Din S scadem pe S₂ si obtinem:
[tex]S-S_2=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14.... \\ \ -\ \ \ \ \ \ \ \ \ (1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+13-14.... \\ S-S_2=4+8+12+16+20+24+28+32+36+......... \\ S-S_2=4(1+2+3+4+5+...... \\ S-S_2=4S \\ -S_2=3S \\ S= \frac{-S_2}{3}=- \frac{1}{12} [/tex]

Concluzie:
[tex]1+2+3+4+5+...............= -\frac{1}{12} [/tex]