a)
[tex]I_0= \int\limits^2_1 {e^x} \, dx =e^x|_1^2=e^2-e=e(e-1)[/tex]
b)
[tex]I_1= \int\limits^2_1 {xe^x} \, dx [/tex]
Integram prin parti, consideram pe [tex]e^x[/tex] ca fiind derivata lui [tex]e^x[/tex] si derivata se va muta pe x, adica
[tex]I_1=xe^x|_1^2- \int\limits^2_1 {e^x} \, dx =2e^2-e-e^x|_1^2=2e^2-e-e^2+e=e^2[/tex]
c) In partea stanga avem
[tex] \int\limits^2_1 {x^{n+1}e^x} \, dx +(n+1) \int\limits^2_1 {x^ne^x} \, dx [/tex]
In a doua integrala vom considera pe [tex]x^n[/tex] ca fiind derivata lui [tex] \frac{x^{n+1}}{n+1} [/tex] si vom face integrala a doua prin parti, adica avem in final in partea stanga:
[tex] \int\limits^2_1 {x^{n+1}e^x} \, dx +(n+1) \int\limits^2_1 { (\frac{x^{n+1}}{n+1})'e^x } \, dx = \\ \int\limits^2_1 {x^{n+1}e^x} \, dx + \int\limits^2_1 {(x^{n+1})'e^x} \, dx = \\ \int\limits^2_1 {x^{n+1}e^x} \, dx +x^{n+1}e^x|_1^2- \int\limits^2_1 {x^{n+1}e^x} \, dx [/tex]
Observam ca integrala se simplifica si ramanem cu
[tex]x^{n+1}e^x|_1^2=2^{n+1}e^2-e[/tex]
Adica exact ce era de demonstrat.
