Doua triunghiuri asemenea au laturi proportionale dar si unghiurile egale.
Atunci stii ca [tex]\widehat{ABC}=\widehat{DEF}[/tex](1)
Ducem inaltimile din A pe BC, o notam cu M, si din D pe EF, o notam cu N
Atunci o sa avem triunghiurile dreptunghice AMB si DNE cu [tex]\widehat{AMB}=\widehat{DNE}=90[/tex] fiecare cu catetele AB,MB respectiv DN,NE si ipotenuzele AB, respectiv BE
Mai stim ca sinusul unui unghi in triunghi dreptunghic are formula
[tex]\sin=\frac{cateta opusa}{ipotenuza}[/tex]
Aplicam la cele doua triunghiuri pentru unghiurile ABC si DEF
[tex]\sin{ABM}=\frac{AM}{AB}[/tex]
[tex]\sin{DEN}=\frac{DN}{BE}[/tex]
Din (1), cum am spus, sunt unghiuri egale, deci si sinusurile sunt egale
Atunci
[tex]\frac{AM}{AB}}=\frac{DN}{BE}\Rightarrow \frac{AM}{DN}=\frac{AB}{BE}=3[/tex]
Laturile sunt proportionale, deci raportul lor este egal
[tex]\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=3[/tex]
Avem toate datele acum sa facem raportul ariilor
A_ABC/A_DEF=AM*AB/DN*BC=AM/DN*AB/BC=3*3=9
