Formeaza diagonalele AD si BE ale hexagonului. Stim ca intr-un hexagon regulat, toate unghiurile au masura de 120 de grade, iar diagonalele functioneaza ca bisectoare, asa ca stim deja ca
[tex]\widehat{EBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}=\frac{1}{2}120=60[/tex]
[tex]\widehat{FAD}=\frac{1}{2}\widehat{FAB}=\frac{1}{2}120=60[/tex]
[tex]\widehat{ADC}=\frac{1}{2}\widehat{CDE}=\frac{1}{2}120=60[/tex]
[tex]\widehat{FEB}=\frac{1}{2}\widehat{FEC}=\frac{1}{2}120=60[/tex]
Notam cu O intersectia celor doua diagonale. Atunci sa ne uitam la patrulaterele BCDO si AFEO.
In BCDO, vedem ca unghiurile opuse sunt egale cu 60 grade, deci egale intre ele
[tex]\widehat{EBC}=\widehat{OBC}=\widehat{ADC}=\widehat{ODC}=60[/tex]
Vedem de-asemenea ca unghiurile alaturate sunt suplementare(suma lor face 180 de grade) din moment ce: [tex]\widehat{BCD}=120[/tex]
Acestea sunt dovezi suficiente ca BCDO este paralelogram
In AFEO, vedem ca unghiurile opuse sunt egale cu 60 grade, deci egale intre ele
[tex]\widehat{FEB}=\widehat{FEO}=\widehat{FAD}=\widehat{FAO}=60[/tex]
Vedem de-asemenea ca unghiurile alaturate sunt suplementare(suma lor face 180 de grade) din moment ce: [tex]\widehat{AFE}=120[/tex]
Acestea sunt dovezi suficiente ca AFEO este paralelogram
Din paralelogramul BCDO, reiese ca BO este paralel cu CD si sunt egale intre ele. In aceste conditii, stim ca [tex]\vec{CD}=\vec{BO}[/tex]
Din paralelogramul AFEO, reiese ca OA este paralel cu EF si sunt egale intre ele. In aceste conditii, stim ca [tex]\vec{EF}=\vec{OA}[/tex]
Atunci suma vectoriala devine:
[tex]\vec{AB}+\vec{CD}+\vec{EF}=\vec{AB}+\vec{BO}+\vec{OA}=\vec{AO}+\vec{OA}=\vec{OA}-\vec{OA}=\vec{0}[/tex]
