Ti le rezolv eu dar macar sa imi dai cele 5 puncte pentru cel mai bun raspuns pentru ca este o gramada de scris
1a) Stim ca derivata unei functii intr-un punct are formula
[tex]f '(x_{0})=\lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/tex]
Folosim Aceasta formula pentru [tex]x_{0}=0[/tex] Si obtinem
[tex]f '(0)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}[/tex](1)
Deci practic acea limita este chiar f'(0) Atunci avem in general:
[tex]f '(x)=(e^{x}-x-1)'=e^{x}-1\Rightarrow f '(0)=e^{0}-1=0[/tex]
1b) Am stabilit deja ca:
[tex]f '(x)=e^{x}-1[/tex] Observam ca:
[tex]x\leqslant0\Rightarrow e^{x}\leqslant1 \Rightarrow e^{x}-1\leqslant0\Rightarrow f'(x)\leqslant0[/tex]
Dar stim ca atunci cand derivata functiei este mai mica decat 0, atunci functia este descrescatoare, exact ce este in cerinta
1c) Sa presupunem cazul contrar acum, si anume ca x>0
[tex]x>0\Rightarrow e^{x}>1 \Rightarrow e^{x}-1\>0\Rightarrow f '(x)>0[/tex]
[tex]\lim[/tex]
Deci pentru restul numerelor naturale, derivata functiei este pozitiva, ceea ce inseamna ca f este crescatoare
Deci f este descrescatoare pana la x=0, si apoi devine crescatoare din nou cand x e mai mare ca 0. Atunci x=0 este punctul de minim, iar f(0) este minimul functiei, avem relatia [tex]f(x)x\geqslantf(0)\Rightarrow e^{x}-x-1\geqslantf(0)[/tex]
Stim ca [tex]f(0)=e^{0}-0-1=1-1=0[/tex]
Reiese ca:[tex]e^{x}-x-1\geqslant0 \Rightarrow e^{x}\geqslantx-1[/tex]
2a) [tex]\int_{0}^{1} (f(x)+2x-5)=\int_{0}^{1} (x^{2}-2x+5+2x-5)=\int_{0}^{1} x^{2}=\frac{x^{3}}{3}|_{x=0}^{x=1}=\frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}=\frac{1^{3}}{3}[/tex]
2b)[tex]\int_{0}^{2} \frac{f '(x)}{f(x)}=\int_{0}^{2} \frac{2x-2}{x^{2}-2x+5}=\int_{0}^{2} \frac{2(x-1)}{(x-1)^{2}+4}dx[/tex]
In momentul asta, facem substituire de variabila: t=x-1, atunci x=t+1, se schimba intervalele, 0 devine t=0-1=-1, iar 2 devine t=2-1=1
dx devine d(t+1)=dt
deci ecuatia este acum: [tex]\int_{-1}^{1} \frac{2t}{t^(2)+4}=ln(t^(2)+4)|_{x=-1}^{x=1}=ln((-1)^{2}+4)-ln((1)^{2}+4)=ln(5)-ln(5)=0[/tex]
Aici am folosit faptul ca [tex]\int \frac{1}{x}=ln(x)[/tex] iar denumitorul era exact functia de jos denumita, deci asa am avut voie sa fac operatia
2c) [tex]\int_{2014}^{2015} \frac{1}{f(x)}\leqslant\frac{1}{4}[/tex]
[tex]\int_{2014}^{2015} \frac{1}{(x-1)^2+4}\leqslant\frac{1}{4}[/tex]
[tex]\int_{2014}^{2015} \frac{1}{ (x-1)^{2}+2^{2}}\leqslant\frac{1}{4}[/tex]
[tex]\int_{2014}^{2015} \frac{1}{ (x-1)^{2}+2^{2}}\leqslant\frac{1}{4}[/tex]
[tex]\int_{2014}^{2015} \frac{1}{ (x-1)^{2}+2^{2}}\leqslant\frac{1}{4}[/tex]
Dar tu stii ca
[tex]\int \frac{1}{ ((x)^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}[/tex]
Aplicand pentru formula noastra
[tex]\frac{1}{2}\arctan{\frac{x-1}{2}}|_{x=2014}^{x=2015}\leqslant\frac{1}{4} [/tex]
[tex]\arctan{\frac{2014}{2}}-\arctan{\frac{2013}{2}}\leqslant\frac{1}{2} [/tex]
Stim ca functia arctan pentru valori foarte mari tinde catre pi/2, atunci optinem la final
[tex]\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\leqslant\frac{1}{2}[/tex] care este adevarat
