Sa ne concentram pe triunghiul AOB. Stim ca acest triunghi este dreptunghic, pentru ca O este la intersectia diagonalelor, si diagonalele unui romb sunt perpendiculare. AO si OB sunt segmente din diagonale, asa ca [tex]\angle{AOB}[/tex]=90
Proiectia unui segment MN pe un segment PQ inseamna sa trimiti drepte din punctele A si B care sa fie perpendiculare pe PQ si la intersectia cu PQ sa zicem ca s-ar forma intersectiile E si F. Atunci EF este proiectia lui MN pe PQ
In cazul nostru, A este deja pe ambele drepte, asa ca ducem inaltimea din O pe AB si o notam cu M. deci proiectia obtinuta este AM=9, si [tex]\angle{AMO}=90[/tex] Atunci tringhiul AMO este dreptunghic cu AO fiind ipotenuza.
Apoi daca ne uitam in triunghiurile AMO si AOB ambele sunt dreptunghice, cu o latura comuna AO si cu un unghi comun [tex]\angle{OAB}=\angle{OAM}[/tex] deci cele doua triunghiuri sunt congruente, de unde rezulta ca:
[tex]\angle{AOM}=\angle{ABO}[/tex] Atunci [tex]\sin{AOM}=\sin{ABO}[/tex] adica
[tex]\frac{AM}{AO}=\frac{AO}{AB}[/tex] deci
[tex]AO^{2}=AM*AO=9*13[/tex] de unde rezulta ca
[tex]AO=3\sqrt{13}[/tex]
AOB este triunghi dreptunghic, deci putem aplica teorema lui Pitagora sa aflam si pe OB
[tex]OB^{2}=AB^{2}-OA^{2}=13*13-9*13=4*13[/tex] deci
[tex]OB=2\sqrt{13}[/tex]
Diagonalele unui romb se intersecteaza la jumatatea lor, deci
[tex]AC=2OA=2*3\sqrt{13}=6\sqrt{13}[/tex]
[tex]BD=2OB=2*2\sqrt{13}=4\sqrt{13}[/tex]
Aria nui romb este produsul diagonalelor pe doi
[tex]A_{romb}=\frac{AC*BD}{2}=\frac{6\sqrt{13}*4\sqrt{13}}{2}=12*13=156[/tex]
